Die Funktion wird dann , sobald mindestens einer der Faktoren gleich ist. Da die Nullstelle bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich setzt.
Ermitteln Sie die Vorzeichenbereiche für die durch
gegebene Funktion und fertigen Sie eine prinzipielle Skizze des Funktionsgraphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Ausschlaggebend für das Vorzeichen der Funktion ist der Term . Der Term hat keine Auswirkung auf das Vorzeichen der Funktion.
Für ist der Term
Für ist der Term
Für (doppelte Nullstelle) und (dreifache Nullstelle) ist
Damit ergeben sich folgende Vorzeichenbereiche:
Bei einer doppelten Nullstelle gibt es ein Extremum auf der -Achse, hier im Punkt . Das Extremum kann wegen des Vorzeichenbereichs (grün) nur ein Tiefpunkt sein.
Bei einer dreifachen Nullstelle gibt es einen Sattelpunkt auf der -Achse, hier im Punkt . Der Sattelpunkt kann wegen des Vorzeichenbereichs (braun) nur ein links-rechts-Sattelpunkt sein.
Mit den ermittelten Vorzeichenbereichen ergibt sich folgende grobe Funktionsdarstellung:
Zwischen den beiden Nullstellen und gibt es nach dieser Skizze einen Hochpunkt.
Funktionsdarstellung
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