Aufgaben zu Ungleichungen höheren Grades

Lerne hier Ungleichungen höheren Grades zu lösen. Du wendest dein Wissen über Ungleichungen auf Polynome vom Grad 3 oder größer an.

Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm:

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$

Um den Vorzeichenbereich ermitteln zu können, musst du zuerst die Nullstellen berechnen.

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.

$f(1)=1^3-3\cdot1^2+2=0$

Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $f (1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x - 1)$ durch.

$\ \ \ (x^3-3x^2+2):(x-1)=x^2-2x-2\\\underline{-(x^3-x^2)}\\\ \qquad-2x^2+2\\\quad\underline{-(-2x^2+2x)}\\\\\quad\qquad\qquad-2x+2\\\qquad\qquad\underline{-(-2x+2)}\\\\\qquad\qquad\qquad\qquad0$

Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^2-2x-2\ =\ 0$

Löse die quadratische Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Setze die entsprechenden Werte in die Mitternachtsformel ein.
	↓
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm\sqrt{3\cdot4}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle 1\pm\sqrt{3}$
$\displaystyle x_{2}$	$=$	$\displaystyle \ \ \ 2{,}732$
$\displaystyle x_{3}$	$=$	$\displaystyle -0{,}732$

Die Nullstellen sind also: $x_{1}=1\ ;\quad x_2{}=2{,}732\ ;\quad x_{3}=-0{,}732$

Es ergeben sich $4$ Vorzeichenbereiche:

$a.)\textbf{]}-\infty;\ -0{,}732\textbf{[}\quad b.)\textbf{]}-0{,}732;\ 1\textbf{[}\quad c.)\textbf{]}1;\ 2{,}732\textbf{[}\quad d.)\textbf{]}2{,}732;\ \infty\textbf{[}$

Jetzt musst du dir, für jeden Bereich, das Vorzeichen von $f (x)$ überlegen.

Setze eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, in $f (x)$ ein.

a.) z. B. $(-1)\qquad\Rightarrow\qquad f(-1)= -1;\quad Vorzeichen\ (-)$

b.) z. B. $\ \ (0)\qquad\Rightarrow\qquad \ \ \ f(0)=2;\qquad \ Vorzeichen\ (+)$

c.) z. B. $\ \ \ (2)\qquad\Rightarrow\qquad \ \ f(2)=4;\qquad \ Vorzeichen\ (-)$

d.) z. B. $\ \ (3)\qquad\Rightarrow\qquad \ f(3)=2;\qquad \ \ Vorzeichen\ (+)$

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ermitteln Sie die Vorzeichenbereiche für die durch
$f\left(x\right)=-\left(x-2\right)^3\cdot x^2$ gegebene Funktion und fertigen Sie eine prinzipielle Skizze des Funktionsgraphen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Ausschlaggebend für das Vorzeichen der Funktion $f (x)$ ist der Term $- (x - 2)^{3}$ . Der Term $x^{2}$ hat keine Auswirkung auf das Vorzeichen der Funktion.
Für $x < 2$ ist der Term $-(x-2)^3 >0\;\Rightarrow\;f(x)>0$
Für $x > 2$ ist der Term $-(x-2)^3 <0\;\Rightarrow\;f(x)<0$
Für $x = 0$ (doppelte Nullstelle) und $x = 2$ (dreifache Nullstelle) ist $f (x) = 0$
Damit ergeben sich folgende Vorzeichenbereiche:
Bei einer doppelten Nullstelle gibt es ein Extremum auf der $x$ -Achse, hier im Punkt $(0 ∣ 0)$ . Das Extremum kann wegen des Vorzeichenbereichs (grün) nur ein Tiefpunkt sein.
Bei einer dreifachen Nullstelle gibt es einen Sattelpunkt auf der $x$ -Achse, hier im Punkt $(2 ∣ 0)$ . Der Sattelpunkt kann wegen des Vorzeichenbereichs (braun) nur ein links-rechts-Sattelpunkt sein.
Mit den ermittelten Vorzeichenbereichen ergibt sich folgende grobe Funktionsdarstellung:
Zwischen den beiden Nullstellen $N_{1}$ und $N_{2}$ gibt es nach dieser Skizze einen Hochpunkt.
Funktionsdarstellung $f (x)$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Aufgaben zu Ungleichungen höheren Grades

Funktionsdarstellung f(x)f(x)f(x)

Funktionsdarstellung $f (x)$